2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件 互斥，那么                                 球的表面积公式

                               

如果事件 相互独立，那么                          其中 表示球的半径

                                   球的体积公式

如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么         

次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率       其中 表示球的半径

一、选择题

（1）设 ， ，则 （　　）

Ａ．           Ｂ．         Ｃ．            Ｄ．

（2） 是第四象限角， ， （　　）

Ａ．          Ｂ．              Ｃ．          Ｄ．

（3）已知向量 ， ，则 与 （　　）

Ａ．垂直              Ｂ．不垂直也不平行           Ｃ．平行且同向           Ｄ．平行且反向

（4）已知双曲线的离心率为 ，焦点是 ， ，则双曲线方程为（　　）

Ａ．          Ｂ．          Ｃ．          Ｄ．

（5）甲、乙、丙 位同学选修课程，从 门课程中，甲选修 门，乙、丙各选修 门，则不同的选修方案共有（　　）

Ａ． 种             Ｂ． 种            Ｃ． 种             Ｄ． 种

（6）下面给出四个点中，位于 表示的平面区域内的点是（　　）

Ａ．             Ｂ．           Ｃ．          Ｄ．

（7）如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）

Ａ．           Ｂ．           Ｃ．           Ｄ．

 

 

 

 

（8）设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 （　　）

Ａ．         Ｂ．            Ｃ．              Ｄ．

（9） ， 是定义在 上的函数， ，则“ ， 均为偶函数”是“ 为偶函数”的（　　）

Ａ．充要条件                            Ｂ．充分而不必要的条件

Ｃ．必要而不充分的条件           Ｄ．既不充分也不必要的条件

（10）函数 的一个单调增区间是（　　）

Ａ．              Ｂ．           Ｃ．               Ｄ．

（11）曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　）

Ａ．           Ｂ．           Ｃ．           Ｄ．

（12）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是（　　）

Ａ．            Ｂ．              Ｃ．              Ｄ．

 

 

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共10题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取 袋，测得各袋的质量分别为（单位： ）：

492	496	494	495	498	497	501	502	504	496
497	503	506	508	507	492	496	500	501	499

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为_____．

（14）函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 ____________．

（15）正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．

（16）等比数列 的前n项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的公比为______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若 ， ，求b．

（18）（本小题满分12分）

某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．

（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．

（19）（本小题满分12分）

S

C

D

A

B

四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，侧面 底面ABCD，已知 ， ， ， ．

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．

（20）（本小题满分12分）

设函数 在 及 时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ， ，

（Ⅰ）求 ， 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 的前n项和 ．

（22）（本小题满分12分）

已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆于B，D两点，过 的直线交椭圆于A，C两点，且 ，垂足为P．

（Ⅰ）设P点的坐标为 ，证明： ；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2007年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题（必修＋选修1）参考答案

一、选择题

1．Ｄ　　2．Ｂ　　3．Ａ　　4．Ａ　　5．Ｃ　　6．Ｃ　　7．Ｄ　　8．Ｄ　　9．Ｂ

10．Ｄ　　11．Ａ　　12．Ｃ

二、填空题

13． 　　14． 　　15． 　　16．

三、解答题

17．解：

（Ⅰ）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ，

由 为锐角三角形得 ．

（Ⅱ）根据余弦定理，得 ．

所以， ．

18．解：

（Ⅰ）记 表示事件：“ 位顾客中至少 位采用一次性付款”，则 表示事件：“ 位顾客中无人采用一次性付款”．

，

．

（Ⅱ）记 表示事件：“ 位顾客每人购买 件该商品，商场获得利润不超过 元”．

表示事件：“购买该商品的 位顾客中无人采用分期付款”．

表示事件：“购买该商品的 位顾客中恰有 位采用分期付款”．

则 ．

， ．

．

19．解法一：

（1）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 底面 ．

因为 ，所以 ，

又 ，故 为等腰直角三角形， ，

D

B

C

A

S

E

由三垂线定理，得 ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

依题设 ，

故 ，由 ，

，

．

又 ，作 ，垂足为 ，

则 平面 ，连结 ． 为直线 与平面 所成的角．

所以，直线 与平面 所成的角为 ．

解法二：

（Ⅰ）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 平面 ．

因为 ，所以 ．

又 ， 为等腰直角三角形， ．

如图，以 为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 ，

D

B

C

A

S

因为 ，

，

又 ，所以 ，

， ．

， ，

， ，所以 ．

（Ⅱ） ， .

与 的夹角记为 ， 与平面 所成的角记为 ，因为 为平面 的法向量，所以 与 互余．

， ，

所以，直线 与平面 所成的角为 ．

20．解：

（Ⅰ） ，

因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ．

即

解得 ， ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，

．

当 时， ；

当 时， ；

当 时， ．

所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ．

则当 时， 的最大值为 ．

因为对于任意的 ，有 恒成立，

所以　 ，

解得　 或 ，

因此 的取值范围为 ．

21．解：

（Ⅰ）设 的公差为 ， 的公比为 ，则依题意有 且

解得 ， ．

所以 ，

．

（Ⅱ） ．

，①

，②

②－①得 ，

．

22．证明

（Ⅰ）椭圆的半焦距 ，

由 知点 在以线段 为直径的圆上，

故 ，

所以， ．

（Ⅱ）（ⅰ）当 的斜率 存在且 时， 的方程为 ，代入椭圆方程 ，并化简得 ．

设 ， ，则

， ，

；

因为 与 相交于点 ，且 的斜率为 ．

所以， ．

四边形 的面积

．

当 时，上式取等号．

（ⅱ）当 的斜率 或斜率不存在时，四边形 的面积 ．

综上，四边形 的面积的最小值为 ．