本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
一、选择题
（1） 是第四象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
（2）设 是实数，且 是实数，则 （ ）
A． B． C． D．
（3）已知向量 ， ，则 与 （ ）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
（4）已知双曲线的离心率为 ，焦点是 ， ，则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
（5）设 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（6）下面给出的四个点中，到直线 的距离为 ，且位于 表示的平面区域内的点是（ ）
A． B． C． D．
（7）如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
（8）设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（9） ， 是定义在 上的函数， ，则“ ， 均为偶函数”是“ 为偶函数”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
（10） 的展开式中，常数项为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（11）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
（12）函数 的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
（14）函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 ．
（15）等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的公比为 ．
（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ．
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）求 的取值范围．
（18）（本小题满分12分）
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0.4 |
0.2 |
0.2 |
0.1 |
0.1 |
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元． 表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件 ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 ；
（Ⅱ）求 的分布列及期望 ．
（19）（本小题满分12分）
四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面 ．已知 ， ， ， ．
（Ⅰ）证明 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的大小．
（20）（本小题满分12分）
设函数 ．
（Ⅰ）证明： 的导数 ；
（Ⅱ）若对所有 都有 ，求 的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．过 的直线交椭圆于 两点，过 的直线交椭圆于 两点，且 ，垂足为 ．
（Ⅰ）设 点的坐标为 ，证明： ；
（Ⅱ）求四边形 的面积的最小值．
（22）（本小题满分12分）
已知数列 中 ， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 中 ， ， ，
证明： ， ．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案
一、选择题：
（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C
（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）A
二、填空题：
（13） （14） （15） （16）
三、解答题：
（17）解：
（Ⅰ）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ，
由 为锐角三角形得 ．
（Ⅱ）
．
由 为锐角三角形知，
， ．
，
所以 ．
由此有 ，
所以， 的取值范围为 ．
（18）解：
（Ⅰ）由 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
．
（Ⅱ） 的可能取值为 元， 元， 元．
，
，
．
的分布列为
（元）．
（19）解法一：
（Ⅰ）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 底面 ．
因为 ，所以 ，
又 ，故 为等腰直角三角形， ，
由三垂线定理，得 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，依题设 ，
故 ，由 ， ， ，得
， ．
的面积 ．
连结 ，得 的面积
设 到平面 的距离为 ，由于 ，得
，
解得 ．
设 与平面 所成角为 ，则 ．
所以，直线 与平面 所成的我为 ．
解法二：
（Ⅰ）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 平面 ．
因为 ，所以 ．
又 ， 为等腰直角三角形， ．
如图，以 为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 ，
， ， ， ， ，
， ，所以 ．
（Ⅱ）取 中点 ， ，
连结 ，取 中点 ，连结 ， ．
， ， ．
， ， 与平面 内两条相交直线 ， 垂直．
所以 平面 ， 与 的夹角记为 ， 与平面 所成的角记为 ，则 与 互余．
， ．
， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ．
（20）解：
（Ⅰ） 的导数 ．
由于 ，故 ．
（当且仅当 时，等号成立）．
（Ⅱ）令 ，则
，
（ⅰ）若 ，当 时， ，
故 在 上为增函数，
所以， 时， ，即 ．
（ⅱ）若 ，方程 的正根为 ，
此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数．
所以， 时， ，即 ，与题设 相矛盾．
综上，满足条件的 的取值范围是 ．
（21）证明：
（Ⅰ）椭圆的半焦距 ，
由 知点 在以线段 为直径的圆上，故 ，
所以， ．
（Ⅱ）（ⅰ）当 的斜率 存在且 时， 的方程为 ，代入椭圆方程 ，并化简得 ．
设 ， ，则
，
；
因为 与 相交于点 ，且 的斜率为 ，
所以， ．
四边形 的面积
．
当 时，上式取等号．
（ⅱ）当 的斜率 或斜率不存在时，四边形 的面积 ．
综上，四边形 的面积的最小值为 ．
（22）解：
（Ⅰ）由题设：
，
．
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，
即 的通项公式为 ， ．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当 时，因 ， ，所以
，结论成立．
（ⅱ）假设当 时，结论成立，即 ，
也即 ．
当 时，
，
又 ，
所以
．
也就是说，当 时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知 ， ．
