本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
一、选择题
（1）设 ， ，则 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（2） 是第四象限角， ， （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（3）已知向量 ， ，则 与 （ ）
Ａ．垂直 Ｂ．不垂直也不平行 Ｃ．平行且同向 Ｄ．平行且反向
（4）已知双曲线的离心率为 ，焦点是 ， ，则双曲线方程为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（5）甲、乙、丙 位同学选修课程，从 门课程中，甲选修 门，乙、丙各选修 门，则不同的选修方案共有（ ）
Ａ． 种 Ｂ． 种 Ｃ． 种 Ｄ． 种
（6）下面给出四个点中，位于 表示的平面区域内的点是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（7）如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（8）设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（9） ， 是定义在 上的函数， ，则“ ， 均为偶函数”是“ 为偶函数”的（ ）
Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件
Ｃ．必要而不充分的条件 Ｄ．既不充分也不必要的条件
（10）函数 的一个单调增区间是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（11）曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（12）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取 袋，测得各袋的质量分别为（单位： ）：
|
492 |
496 |
494 |
495 |
498 |
497 |
501 |
502 |
504 |
496 |
|
497 |
503 |
506 |
508 |
507 |
492 |
496 |
500 |
501 |
499 |
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为_____．
（14）函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 ____________．
（15）正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
（16）等比数列 的前n项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的公比为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若 ， ，求b．
（18）（本小题满分12分）
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
（19）（本小题满分12分）
四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，侧面 底面ABCD，已知 ， ， ， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．
（20）（本小题满分12分）
设函数 在 及 时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ， ，
（Ⅰ）求 ， 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 ．
（22）（本小题满分12分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆于B，D两点，过 的直线交椭圆于A，C两点，且 ，垂足为P．
（Ⅰ）设P点的坐标为 ，证明： ；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题（必修＋选修1）参考答案
一、选择题
1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ
10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：
（Ⅰ）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ，
由 为锐角三角形得 ．
（Ⅱ）根据余弦定理，得 ．
所以， ．
18．解：
（Ⅰ）记 表示事件：“ 位顾客中至少 位采用一次性付款”，则 表示事件：“ 位顾客中无人采用一次性付款”．
，
．
（Ⅱ）记 表示事件：“ 位顾客每人购买 件该商品，商场获得利润不超过 元”．
表示事件：“购买该商品的 位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的 位顾客中恰有 位采用分期付款”．
则 ．
， ．
．
19．解法一：
（1）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 底面 ．
因为 ，所以 ，
又 ，故 为等腰直角三角形， ，
由三垂线定理，得 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
依题设 ，
故 ，由 ，
，
．
又 ，作 ，垂足为 ，
则 平面 ，连结 ． 为直线 与平面 所成的角．
所以，直线 与平面 所成的角为 ．
解法二：
（Ⅰ）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 平面 ．
因为 ，所以 ．
又 ， 为等腰直角三角形， ．
如图，以 为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 ，
因为 ，
，
又 ，所以 ，
， ．
， ，
， ，所以 ．
（Ⅱ） ， .
与 的夹角记为 ， 与平面 所成的角记为 ，因为 为平面 的法向量，所以 与 互余．
， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ．
20．解：
（Ⅰ） ，
因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ．
即
解得 ， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，
．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ．
则当 时， 的最大值为 ．
因为对于任意的 ，有 恒成立，
所以 ，
解得 或 ，
因此 的取值范围为 ．
21．解：
（Ⅰ）设 的公差为 ， 的公比为 ，则依题意有 且
解得 ， ．
所以 ，
．
（Ⅱ） ．
，①
，②
②－①得 ，
．
22．证明
（Ⅰ）椭圆的半焦距 ，
由 知点 在以线段 为直径的圆上，
故 ，
所以， ．
（Ⅱ）（ⅰ）当 的斜率 存在且 时， 的方程为 ，代入椭圆方程 ，并化简得 ．
设 ， ，则
， ，
；
因为 与 相交于点 ，且 的斜率为 ．
所以， ．
四边形 的面积
．
当 时，上式取等号．
（ⅱ）当 的斜率 或斜率不存在时，四边形 的面积 ．
综上，四边形 的面积的最小值为 ．
