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井底之蛙的“天”

日期:2009-10-26 08:57作者:吕迎春文章来源:沧州市第一中学物理教师点击数:1652次

小学课本中有一则寓言故事叫《坐井观天》,里面有一句很有名的话:“天不过井口那么大”,比喻眼界小,见识少。

生活中我们或许是受类似图中漫画的影响,忽视了其中的几何光学,误以为井底之蛙看到的“天”是和井口是一样大的。那真实情况又是怎样呢?
    
如果这是一口枯井,如图一,我们不难发现,井口大小是AA’,而看到“天”的范围是BB’。这就如同我们能透过窗口看外面的景物一样,尽管窗口很小,但透过窗口看到的范围却远比窗口大。因此青蛙看到的天要比井口大一些。

如果原来的枯井里有了水呢?如图二,设想从水中射出两条光线,在水和空气的分界面,会发生折射,根据光的折射定律,光从水中斜射入空气中,折射角要大于入射角,折射光线要远离法线。我们是从青蛙的角度去看问题的,即有光线进入青蛙的眼睛,所以,根据光路的可逆性,我们将入射和折射光线对换一下。此时青蛙看到井口大小是CC’,比在空气中看到的井口要小。青蛙的视野为DD’要比在空气直线传播时要大一些,即有水比没水时看到“天”的范围大。

再讨论一下,青蛙在水中所感觉的世界和在陆地所感觉的世界大小相同吗?根据刚才的分析,折射角大于入射角时,折射角肯定先增大到90°,此时,入射角还可以增大,但不会有折射光线,只有反射光线了,这就是全反射。由于水相对于空气的折射率为1.33,因此,光由水进入空气的临界角约为48.8°,所以,只要青蛙在水中,即使它升得更高一些,增大了入射角,但它观察的世界会受到全反射的临界角的限制,当入射角超过48.8°时,它就看不到水外的世界了。所以,青蛙左右、前后看去,它的视角被限制在48.5°×297.6°的范围内,此时,青蛙是处在一个倒圆锥形的顶点上,这也是所有水中的生物所感知的世界,他们认为世界是个倒圆锥形的。高中物理课本第三册(人教版)全反射一节的例题就是证明:在水中的鱼看来,水面上和岸上所有景物,都出现在顶角约为97.6°的倒立圆锥里(如图三)。

并且青蛙的眼睛来说,更大范围内的景物却被压缩在一个更小的空间(DD’范围内的景物被压缩在EE’之间),所以水井底的青蛙看到井口要小一些,看到的天也要小一些。(看到的范围和看到的大小不同,对于大小的问题也可以从视角的角度入手,视角大则看到的物体大)

如果水井里的水满了呢?这时看到的井口应该是和没有水时一样,但看到“天”的范围更广,但同样物体看起来要小一些。如果井口够大,青蛙到井口对角不小于97.6°,理论上此时青蛙可以看到外面所有物体,不过同样被压缩在一个圆锥里了。当然,此时青蛙完全可以跳出井口,到陆地上看一看外面真实的世界了。

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